振動解析の解法

振動解析の解法

振動方程式は直接積分法により、次式で解きます。

$[M]{\ddot{x}_n} + {C_n} +{F_n} = {f_n}$

時刻ステップnでの変位、復元力、減衰力を以下の式で表します。

${x_n} = {x_{n-1}} + { \Delta x_n}$

${F_n} = {F_{n-1}} + [S_n]{ \Delta x_n}$

${C_n} = {C_{n-1}} + [C_n]{ \Delta \dot x_n}$

ここで、

$[S_n]$：時刻ステップnでの瞬間剛性マトリクス

$[C_n]$：時刻ステップnでの瞬間減衰マトリクス

弾塑性振動方程式は、以下となります。

$[M]{\ddot x_n} + [C_n]{ \Delta \dot x_n} + [S_n]{ \Delta x_n} + {C_{n-1}} + {F_{n-1}} = {f_n}$

加速度を増分形で表すと、下式になります。

${ \ddot x_n} = { \ddot x_{n-1}} + { \Delta \ddot x_{n}}$

これを振動方程式に代入して、以下の式を得ます。

$[M]{ \Delta \ddot x_{n}} + [C_n]{ \Delta \dot x_{n}} +[S_n]{ \Delta x_{n}} + [M]{ \ddot x_{n-1}} + {C_{n-1}} + {F_{n-1}} = {f}$

上式を、ニューマークβ法により直接解きます。すなわち、時刻ステップnの変位、速度は次式により表されます。

$x_n = x_{n-1} + \Delta t \Delta \dot x_{n-1} + \frac{ \Delta t^2}{2}x_{n-1} + \beta \Delta t ^2(\ddot x_n - \ddot x_{n-1})$

$\dot x_n = \dot x_{n-1} + \Delta t \Delta \ddot x_{n-1} + \frac{\Delta t}{2}(\ddot x_n - \ddot x_{n-1})$

ここで、$\Delta t$：時間刻み

これを増分形で表すと、以下のようになります。

${ \Delta x_n} = {x_n} -{x_{n-1}} = \Delta t { \dot x_{n-1}} + \frac{{\Delta t}^2}{2}{\ddot x_{n-1}} + \beta{\Delta t}^2{\Delta \ddot x_n}$

${ \Delta \ddot x_n} = { \dot x_n} - { \dot x_{n-1}} = \Delta t {\ddot x_{n-1}} + \frac{\Delta t}{2}{\ddot x_n}$

これらを用いて、${\Delta t}$について整理すると、次式が得られます。

${ \Delta \ddot x_n} = { [M] + \frac{\Delta t}{2}[C_n] + \beta{\Delta t}^2[S_n] }^{-1} ・ [{ f_n - {[M] + \Delta t[C_n] + \frac{{\Delta t}^2}{2}[S_n] } {\ddot x_{n-1}} - \Delta t[S_n]{ \dot x_{n-1}} -{C_{n-1}} - {F_{n-1}} }]$